d) Xét ΔABC có AH là đường cao ứng với cạnh BC(gt)

nên \(S_{ABC}=\dfrac{AH\cdot BC}{2}\)(1)

Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)

nên \(S_{ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

a) Xét ΔAHB vuông tại H và ΔCAB vuông tại A có 

\(\widehat{B}\) chung

Do đó: ΔAHB\(\sim\)ΔCAB(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{HB}{AB}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AB^2=BC\cdot BH\)

b) Xét ΔAHB vuông tại H và ΔCHA vuông tại H có 

\(\widehat{BAH}=\widehat{ACH}\left(=90^0-\widehat{B}\right)\)

Do đó:ΔAHB\(\sim\)ΔCHA(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{HB}{HA}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AH^2=HB\cdot HC\)

Bài 2: 

Ta có: \(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{1}{3}\)

nên HC=3HB

Ta có: \(AH^2=HB\cdot HC\)

\(\Leftrightarrow HB^2=48\)

\(\Leftrightarrow HB=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow BC=4\cdot HB=16\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Bài 1:

ta có: \(AB=\dfrac{1}{2}AC\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow HC=4HB\)

Ta có: \(AH^2=HB\cdot HC\)

\(\Leftrightarrow HB=1\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow HC=4\left(cm\right)\)

hay BC=5(cm)

Xét ΔBAC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=HB\cdot BC\\AC^2=HC\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{5}\left(cm\right)\\AC=2\sqrt{5}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Bài 2: 

Xét ΔABC có 

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{25}{13}\left(cm\right)\\CH=\dfrac{144}{13}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Bài 1: 

Ta có: \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{5}{6}\)

\(\Leftrightarrow HB=\dfrac{25}{36}HC\)

Ta có: \(AH^2=HB\cdot HC\)

\(\Leftrightarrow HC^2\cdot\dfrac{25}{36}=900\)

\(\Leftrightarrow HC=36\left(cm\right)\)

hay HB=25(cm)

\(1,\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{5}{6}\Leftrightarrow AB=\dfrac{5}{6}AC\)

Áp dụng HTL tam giác

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\Leftrightarrow\dfrac{1}{900}=\dfrac{1}{\dfrac{25}{36}AC^2}+\dfrac{1}{AC^2}\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{900}=\dfrac{36}{25AC^2}+\dfrac{1}{AC^2}\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{900}=\dfrac{36+25}{25AC^2}\Leftrightarrow\dfrac{1}{900}=\dfrac{61}{25AC^2}\\ \Leftrightarrow25AC^2=54900\Leftrightarrow AC^2=2196\Leftrightarrow AC=6\sqrt{61}\left(cm\right)\\ \Leftrightarrow AB=\dfrac{5}{6}\cdot6\sqrt{61}=5\sqrt{61}\\ \Leftrightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=61\left(cm\right)\)

Áp dụng HTL tam giác: 

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{AB^2}{BC}=...\\CH=\dfrac{AC^2}{BC}=...\end{matrix}\right.\)

Bài 1:

Ta có: \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{5}{6}\)

\(\Leftrightarrow HB=\dfrac{25}{36}HC\)

Ta có: \(AH^2=HB\cdot HC\)

\(\Leftrightarrow HC^2\cdot\dfrac{25}{36}=900\)

\(\Leftrightarrow HC=36\left(cm\right)\)

hay HB=25(cm)

Bài 2: 

Xét ΔABC có \(BC^2=AB^2+AC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng vói cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{25}{13}\left(cm\right)\\CH=\dfrac{144}{13}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Lời giải:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông đối với tam giác vuông $AHB$, đường cao $HE$:

$EA.EB=HE^2$
Tương tự: $FA.FC=HF^2$

$\Rightarrow EA.EB+FA.FC=HE^2+HF^2=EF^2(1)$ (định lý Pitago)

Mặt khác: Dễ thấy $HEAF$ là hình chữ nhật do có 3 góc $\widehat{E}=\widehat{A}=\widehat{F}=90^0$

$\Rightarrow EF=HA$

$\Rightarrow EF^2=HA^2(2)$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$:

$AH^2=HB.HC(3)$

Từ $(1);(2); (3)\Rightarrow EA.EB+FA.FC=HB.HC$ (đpcm)

Hình vẽ:

1: Xét ΔABC vuông tại A có 

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

hay BC=5(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

hay AH=2,4(cm)

a) Xét ΔABH vuông tại H và ΔCAH vuông tại H có 

\(\widehat{ABH}=\widehat{CAH}\left(=90^0-\widehat{C}\right)\)

Do đó: ΔABH\(\sim\)ΔCAH(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{BH}{AH}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AH^2=HB\cdot HC\)(đpcm)

b) Xét ΔABH vuông tại H và ΔCBA vuông tại A có 

\(\widehat{B}\) chung

Do đó: ΔABH\(\sim\)ΔCBA(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{HB}{AB}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AB^2=HB\cdot BC\)(đpcm)

\(AB=\dfrac{1}{2}AC\Rightarrow AC=2AB\)

Áp dụng hệ thức lượng:

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\Leftrightarrow\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{\left(2AB\right)^2}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{5}{4AB^2}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow AB^2=5\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{5}\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow AC=2AB=2\sqrt{5}\) (cm)

Áp dụng định lý Pitago:

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=5\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng:

\(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{5}{5}=1\left(cm\right)\)

\(CH=BC-BH=4\left(cm\right)\)